MX-запись говорит всему интернету, какой сервер принимает почту для домена. Пока она указывает на старый хостинг, письма идут туда — и это хорошо: у вас есть время спокойно перенести архив.
Если поменять MX первым действием, начинается неприятное: новые письма падают на новый сервер, старые остаются на старом, а часть отправителей ещё несколько часов или суток использует закешированный ответ и шлёт по-старому. Вы получаете два живых ящика и ручную склейку.
Правильный порядок обратный: завести ящики на новом хостинге, перенести почту, убедиться, что всё на месте, и только потом переключать MX. Почта в этот момент уже ждёт на новом месте.